ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78755
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Четность и нечетность ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?


Решение

  Пусть в i-й строке мы изменили знак xi раз, в k-м столбце – yk раз. Тогда в клетке, стоящей на пересечении i-й строки и k-го столбца, знак изменится
xi + yk  раз. Следовательно, в этой клетке будет стоять минус в том и только в том случае, когда  xi + yk  нечётно. Таким образом, общее количество минусов в полученной таблице зависит только от чётности чисел xi и yk. Пусть x – количество нечётных чисел среди xi, y – количество нечётных чисел среди yk. Тогда, как нетрудно посчитать, общее число минусов в таблице будет равно  x(100 – y) + (100 – x)y = 100x + 100y – 2xy.
  Предположим, что нам удалось получить ровно 1970 минусов. Тогда  1970 = 100x + 100y – 2xy,  или  (x – 50)(y – 50) = 1515 = 15·101.
  Поскольку число 101 простое, то либо  х – 50,  либо  y – 50  делится на 101. Но это невозможно, так как  |x − 50| ≤ 50  и  |y − 50| ≤ 50  (равняться нулю эти множители тоже не могут). Противоречие.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М32
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 33
Год 1970
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .