ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 78802
УсловиеВ пространстве даны точка O и n попарно непараллельных прямых. Точка O ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий все точки, которые могут быть получены таким образом?РешениеОтвет: существует.Лемма.Пусть l1 и l2 — две прямые, φ — угол между ними, Q — точка пространства. Тогда существует константа D такая, что для любой точки P l1 и её проекции P' на прямую l2 выполнено неравенство |QP'| ≤ |QP| cosφ + D. Доказательство леммы. Пусть P0 — фиксированная точка на прямой l1. Тогда
| QP'| ≤ |QP0'| + | P0'P'| = |QP0'| + |P0P| cosφ ≤ |QP0'| + |QP0| cosφ + |QP| cosφ = D + |QP| cosφ.
Следствие. Существует такое число R = R(l1, l2, Q), зависящее от l1, l2 и Q, что если |QP| < R, то |QP'| < R.
Действительно, в качестве R достаточно выбрать . Обозначим через Oi проекцию точки O на прямую li. Пусть R1 = | OOi|, R2 = R(li, lj, O), R = max(R1, R2). Тогда, очевидно, шар радиуса R с центром в точке O — искомый. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|