Задача 78803

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Доказать, что сумма цифр числа N превосходит сумму цифр числа 5^{5 .} N не более чем в 5 раз.

Решение

Обозначим сумму цифр числа n через S(n). Для решения задачи воспользуемся неравенством S(mn) ≤ S(m)S(n), доказанным в задаче 78791
Заметим, что S(2⁵)S(5⁵·N) ≥ S(10⁵N) = S(N) S(32)S(5⁵N) ≥ S(N) 5S(5⁵N) ≥ S(N), что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	5