ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78809
Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через A и A'. Длинные палочки разделены на n равных частей точками a1, ..., an - 1; a'1, ..., a'n - 1 (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa1, Aa2, ..., Aan - 1; A'a$\scriptstyle \prime$1, A'a'2, ..., A'a'n - 1. Точку пересечения прямых Aa1 и A'a$\scriptstyle \prime$1 обозначим через X1, прямых Aa2 и A'a$\scriptstyle \prime$2 — через X2 и т.д. Доказать, что точки X1, X2, ..., Xn - 1 образуют выпуклый многоугольник.

Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение. Пусть поворот с центром O переводит прямую l1 в прямую l2, а точку A1, лежащую на прямой l1, — в  точку A2. Тогда точка пересечения прямых l1 и l2 лежит на описанной окружности треугольника A1OA2. Действительно, пусть P — точка пересечения прямых l1 и l2. Тогда $ \angle$(OA1A1P) = $ \angle$(OA1l1) = $ \angle$(OA2l2) = $ \angle$(OA2A2P). Поэтому точки O, A1, A2 и P лежат на одной окружности. Одинаковые буквы ``Г'' можно совместить поворотом с некоторым центром O (если они совмещаются параллельным переносом, то Aai || A'ai'). Согласно только что доказанному вспомогательному утверждению точка Xi лежит на описанной окружности треугольника A'OA. Ясно, что точки, лежащие на одной окружности, образуют выпуклый многоугольник.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 35
Год 1972
вариант
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .