ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79245
Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Куб ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Средние величины ]
Сложность: 4
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?


Решение

  Пусть мы каким-то образом прокатили кубик из левого нижнего угла доски в правый верхний. Будем считать, что после каждого перекатывания через ребро на клетке доски отпечатывается число, записанное на той грани кубика, которая опиралась на эту клетку. Отпечатавшиеся числа a1, ..., a99 выпишем подряд в строчку, а их сумму обозначим через S.
  Если числа на всех гранях кубика заменить средним числом 3,5, то сумма отпечатавшихся чисел будет равна  s = 3,5·99 = 346,5.
  Оценим величину  |S – s|.  Так как числа a и  7 − a  находятся на противоположных гранях кубика, то нетрудно понять, что между двумя встречающимися подряд числами a обязательно содержится число  7 − a.  Поэтому для каждого  1 ≤ a ≤ 3  возможны три ситуации:
    1) чисел a в последовательности столько же, сколько и чисел   7 − a;
    2) чисел a ровно на одно больше, чем чисел  7 − a;
    3) чисел a ровно на одно меньше, чем чисел  7 − a.
  В случае 1) от замены всех чисел a и  7 − a  на 3,5 их вклад в S не изменится. В случаях 2) и 3) от такой замены S увеличится или уменьшится на  3,5 − a.  В результате вся сумма увеличится или уменьшится самое большее на  (3,5 − 1) + (3,5 − 2) + (3,5 − 3) = 4,5.
  Таким образом,  342 = s − 4,5 ≤ S ≤ s + 4,5 = 351.
  Значения  S = 351  и  S = 342  действительно достигаются, если катить кубик так, как это показано на рисунках.


Ответ

351, 342.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М225
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 36
Год 1973
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .