ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79248
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Наглядная геометрия в пространстве ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

Решение

Предположим, что любые две грани некоторого выпуклого многогранника имеют различное число сторон. Рассмотрим ту грань Г, у которой число сторон наибольшее; пусть оно равно m. Следовательно, число сторон у любой из остальных граней строго меньше m. Значит, и количество оставшихся граней строго меньше m (ведь даже если бы существовали 1-угольники и 2-угольники, мы смогли бы набрать всего лишь m − 1 разных многоугольников). С другой стороны, к грани Г примыкают ровно m других граней многогранника (к каждой стороне — по одной). Мы получили противоречие. Стало быть, какие-то две грани обязательно имеют равное число сторон.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М222
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 36
Год 1973
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .