ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79267
Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Ломаные ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Обозначим отрезки, которые пробегает лев, через I1, I2, ..., Ik, а углы, на которые он при этом поворачивает, – через α1, ..., αk–1 (всего k отрезков и  k – 1  поворот). Представим движение льва следующим образом.
  Пусть лев пробежал отрезок  AA1 = I1.  Повернём вокруг него (то есть вокруг точки A1) арену на угол α1 так, чтобы отрезок I2 оказался продолжением отрезка I1. После того как лев пробежит отрезок  A1A2 = I2,  повернём вокруг него арену на угол α2, так, чтобы отрезок I3 стал продолжением отрезка I2 и так далее. Тогда лев будет бежать по прямой и пробежит отрезок  AAk = 30000 (м),  где A – начальная точка, a Ak – конечная.
  Проследим за движением центра арены – точки O. Вначале точка O поворачивается вокруг точки A1 на угол α1, затем – вокруг точки A2 на угол α2 и так далее. Всякий раз центр арены O отстоит от центра вращения не больше, чем на 10 м, так как центр вращения – это лев, находящийся внутри арены. Поэтому при первом повороте точка O переместится не более чем на 10α1 (м), при втором – не более чем на 10α2 и так далее (углы измеряются в радианах). Всего точка O переместится не более, чем на  10(α1 + ... + αk–1) (м).
  Поскольку  OA ≤ 10,  O'Ak ≤ 10  и  AAk = 30000,  то  OO' ≥ 29980 (м). Отсюда  α1 + ... + αk–11/10 OO ≥ 2998 (рад).


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М235
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 36
Год 1973
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .