ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79292
Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Касательные к сферам ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Шарообразная планета окружена 37-ю точечными астероидами. Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 17 астероидов.

Примечание. Астероид, расположенный на линии горизонта, не виден.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Проведём через центр планеты и произвольную пару астероидов плоскость П (будем считать её экваториальной). Проведём ось планеты, перпендикулярную плоскости П. Она пересекает поверхность планеты в "полюсах" A и B. Тогда легко видеть, что наблюдатели в точках A и B видят вместе лишь 37 − 2 = 35 астероидов, а потому один из них видит менее 18 астероидов.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .