ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79295
Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Обратный ход ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиуса 1 см. Разрешается точку A отразить симметрично относительно произвольной прямой, пересекающей круг; полученную точку отразить симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг, и т.д. Доказать, что: а) за 25 отражений точку A можно переместить внутрь круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

Решение

Пусть O — центр данного круга, DR — круг радиуса R с центром O. Докажем, что множеством образов точек DR при симметриях относительно прямых, проходящих через D1, является круг DR + 2. В самом деле, образы точки O при указанных симметриях заполняют круг D2, а круги радиуса R с центрами в D2 заполняют круг DR + 2. Поэтому за n отражений из точек D1 можно получить любую точку из D2n + 1 и только эти точки. Остаётся заметить, что точку A можно переместить внутрь DR за n отражений тогда и только тогда, когда за n отражений можно перевести некоторую точку из DR в A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 38
Год 1975
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .