ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79300
Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла равны 120o. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие одинаковую длину.

Решение

Если точки A, B, C лежат на окружности и $ \angle$ABC = 120o, то отрезок BC виден из центра окружности под углом 120o. Поэтому ситуация, когда углы, под которыми видны три диагонали 7-угольника, соответствующие углам 120o, не пересекаются, невозможна (помимо этих трёх углов есть ещё угол, под которым видна одна из сторон). Таким образом, два угла 120o примыкают к одной стороне. Но тогда соседние с ней стороны равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 38
Год 1975
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 38
Год 1975
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 38
Год 1975
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .