ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79328
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Перебор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть искомое число A  n-значно. Приписав A к самому себе, получим число  AA = (10n + 1)A.  Пусть это число равно B2.
  Предположим, что в разложении числа  10n + 1  на простые сомножители каждый из них встречается лишь по разу. Так как B2 делится на  10n + 1,  то в этом случае и B делится на  10n + 1.  Поэтому B2 делится и на  (10n + 1)2,  откуда следует, что A делится на  10n + 1.  Но это невозможно, поскольку  A < 10n + 1.  Значит, в разложении числа  10n + 1  хотя бы один простой сомножитель должен встретиться больше одного раза. Мы получили необходимое условие разрешимости задачи: число  10n + 1  должно быть представимо в виде M2N,  M > 1.
  Докажем, что это условие является достаточным. Пусть N имеет  n – i  знаков. Рассмотрим геометрическую прогрессию {4kN},  k = 0, 1, ... .  Поскольку первый член этой прогрессии меньше 10n и знаменатель  4 < 10,  то в ней найдётся член B, принадлежащий промежутку  [10n–1, 10n – 1].  Так как B имеет вид 4kN, то
BB = 4kN(10n + 1) = 4kM2N2  – точный квадрат.
  Заметим, что число  1011 + 1 = (11 – 1)11 + 1 = 1111 – 11·1110 + ... + 11·11  делится на 112. Поэтому подходит  n = 11,  M = 11,  N = 826446281,
A = 42·826446281 = 13223140496;  1322314049613223140496 = (4·11·826446281)2.


Ответ

Существует.

Замечания

1.  101 + 1 = 11,  102 + 1 = 101,  103 + 1 = 7·11·13,  104 + 1 = 73·137,  105 + 1 = 11·9091,  106 + 1 = 101·9901,  107 + 1 = 11·909091,  108 + 1 = 17·5882353,
109 + 1 = 7·11·13·19·52729,  1010 + 1 = 101·3541·27961,  1011 + 1 = 112·23·4093·8779.  Так что 11 – наименьшее возможное число цифр.

2. В решениях задачника "Кванта" ("Квант", 1977, №2) доказано, что подобные числа существуют в любой системе счисления.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1976
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М387
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 39
Год 1976
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .