ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79329
Темы:    [ Многогранники и пространственные многоугольники ]
[ Векторы (прочее) ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

Решение

Ответ: существует. Рассмотрим произвольную пирамиду, в основании которой лежит 1975-угольник. При произвольной расстановке стрелок проекция суммы полученных векторов на прямую, перпендикулярную основанию, отлична от нуля. Действительно, все проекции векторов рёбер основания нулевые, а проекция каждого бокового ребра равна ±v, где v — фиксированный вектор. Ясно что сумма нечётного числа чисел ±1 не равна нулю.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 39
Год 1976
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .