ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79347
Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Четность и нечетность ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Последовательность натуральных чисел {xn} строится по следующему правилу:  x1 = 2,  ...,  xn = [1,5xn–1].
Доказать, что последовательность  yn = (–1)xn  непериодическая.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Предположим, что последовательность {yn} периодическая, то есть существуют натуральные числа T и n0, для которых  yn+T = yn  при  n ≥ n0.  Это означает, что число  xn+T − xn чётно для всех  n ≥ n0. Пусть  xn+T – xn = 2ma, где a нечётно,  m ≥ 1.  Тогда  1,5xn+T − 1,5xn = 2m–1b,  где  b = 3a  – нечётное число. Поэтому  xn+T+1xn+1 = 2m–1b  (поскольку xn+T и xn одной чётности) и т.д. Следовательно, число  xn+T+m − xn+m  нечётно. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 40
Год 1977
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .