ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79356
Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Бесконечные пределы и пределы на бесконечности ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости найдётся точка A, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных прямых.

Решение

Возьмём произвольную точку O и выберем число r > 0 так, чтобы окружность радиуса r с центром O содержала все данные точки и пересекала все данные прямые. Проведём через точку O прямую l, не перпендикулярную ни одной из данных прямых. Пусть точка A расположена на прямой l и удалена от точки O на расстояние R. Тогда расстояние от A до любой из данных точек не меньше Rr, а расстояние от A до любой из данных прямых не больше (R + r)sin φ, где φ — наибольший из углов между прямой l и данными прямыми. Если R достаточно велико, то Rr > (R + r)sinφ. Действительно, это неравенство эквивалентно неравенству R > $ {\frac{1+\sin\varphi }{1-\sin\varphi }}$r.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 41
Год 1978
вариант
Класс 10
задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 41
Год 1978
вариант
Класс 9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .