ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79360
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh  неотрицательно.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Рассмотрим на плоскости четыре вектора  (a, b),  (c, d),  (e, f)  и  (g, h).  Один из углов между этими векторами не превосходит  360° : 4 = 90°.  Скалярное произведение соответствующих векторов неотрицательно, а данные шесть чисел являются скалярными произведениями всех пар наших четырёх векторов.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 41
Год 1978
вариант
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .