ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79373
Темы:    [ Производные высших порядков ]
[ Интеграл и первообразная ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Функция y = f (x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что f (0) = f (1) = 0 и что |f''(x)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции f для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?

Решение

Ответ: наибольшее значение равно $ {\frac{1}{8}}$, оно принимается функцией g(х) = $ {\frac{1}{2}}$х(1 - х) в точке х = $ {\frac{1}{2}}$. Действительно, предположим, что нашлась такая функция f, что f (0) = f (1) = 0, |f''(x)| ≤ 1 для всех х $ \in$ [0, 1] и в некоторой точке a $ \in$ (0, 1)  f (а) > $ {\frac{1}{8}}$. Положим h(х) = f (х) − $ {\frac{f(a)}{g(a)}}$ · g(х). Так как g''(х) = − 1, f (а) > $ {\frac{1}{8}}$g(a) > 0, то h(0) = h(1) = 0, h''(х) = f''(x) + $ {\frac{f(a)}{g(a)}}$ > 0. Кроме того, h(a) = 0. Из условия h''(х) > 0 следует, что h'(х) монотонно возрастает. Значит, на одном из отрезков [0;а] или [а;1] она не меняет знака. Но тогда либо h(0) = − $ \int\limits_{0}^{a}$h'(х)dх ≠ 0, либо h (1) = $ \int\limits_{a}^{1}$h'(х)dх ≠ 0, что приводит оба раза к противоречию. (Решение из книги [Гальперин, Толпыго]).

Замечания

Примечание Problems.Ru: В концах отрезка берется односторонняя производная.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 42
Год 1979
вариант
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .