ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79391
Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Иррациональные уравнения ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано число x, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство

[$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]?


Решение

Пусть a — натуральное число, для которого a4x < (a + 1)4. Тогда a2$ \sqrt{x}$ < (a + 1)2.
Отсюда, с одной стороны, a$ \sqrt{\sqrt x}$ < a + 1, $ \left[\vphantom{\sqrt{\sqrt x}}\right.$ $ \sqrt{\sqrt x}$ $ \left.\vphantom{\sqrt{\sqrt x}}\right]$ = a.
С другой стороны, a2$ \left[\vphantom{\sqrtx}\right.$$ \sqrt{x}$$ \left.\vphantom{\sqrt
x}\right]$ < (a + 1)2, a$ \sqrt{\left[\sqrt x\right]}$ < a + 1, $ \left[\vphantom{\sqrt{\left[\sqrt x\right]}}\right.$$ \sqrt{\left[\sqrt x\right]}$$ \left.\vphantom{\sqrt{\left[\sqrt x\right]}}\right]$ = a.

Ответ 1

Да, для любого.

Ответ 2

Ответ Для любого.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 44
Год 1981
вариант
Класс 7
задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 44
Год 1981
вариант
Класс 8
задача
Номер 4
журнал
Название "Квант"
год
Год 1981
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М686

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .