ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79395
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано число, имеющее нечётное число разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.


Решение

  Заменим каждую семёрку двойкой, а все остальные цифры – единицами.
  Будем называть число, имеющее чётное число разрядов, справедливым, если в нём количество чётных цифр на нечётных местах равно количеству чётных цифр на чётных местах. Докажем, что в любом числе, имеющем нечётное число разрядов, можно вычеркнуть одну цифру так, что полученное число будет справедливым.
  Заметим вначале, что если мы в любое место (2m−2)-значного справедливого числа добавим две идущие подряд цифры одинаковой чётности или добавим по цифре одинаковой чётности в его начало и в конец, то получающееся при этом 2m-значное число останется справедливым.
  Теперь докажем требуемое утверждение индукцией по m. База  ( m = 1):  в трёхзначном числе всегда можно вычеркнуть цифру так, чтобы две оставшиеся были одинаковой чётности.
  В (2m+3)-значном числе всегда найдутся две цифры одинаковой чётности, стоящие либо рядом, либо одна – в начале, а другая – в конце числа. Вычеркнув на время две эти цифры, получим (2m+1)-значное число, в котором, по предположению индукции, можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся 2m-значное число будет справедливым. Восстановив в нем две вычеркнутые ранее цифры одинаковой чётности, получим справедливое (2n+2)-значное число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 44
Год 1981
вариант
Класс 9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .