ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79437
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Разложение на множители ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что  11983 + 21983 + ... + 19831983  делится на  1 + ... + 1983.


Решение

   Докажем, что для произвольного нечётного  n = 2m – 1  сумма  S = 1n + 2n + ... + nn  делится на  1 + 2 + ... + n = nm. Числа n и m взаимно просты, поэтому достаточно проверить, что S делится на n и на m.
   S = (1n + nn) + (2n + (n – 1)n) + ... + ((m – 1)n + (m + 1)n) + mn.  Сумма в каждой скобке, кроме последней, делится на  n + 1 = 2m,  поэтому S делится на m.
   С другой стороны,  S = (1n + (n – 1)n) + (2n + (n – 2)n) + ... + ((m – 1)n + mn) + nn,  поэтому S делится на n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 46
Год 1983
вариант
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .