ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79468
Темы:    [ Системы линейных уравнений ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны пять различных положительных чисел, которые можно разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были одинаковыми. Сколькими способами это можно сделать?


Решение

  Возьмём какое-нибудь разбиение, удовлетворяющее условию задачи, и докажем, что других разбиений нет. Если в одной из групп только одно число, то оно равно сумме всех остальных, а значит, при любом другом разбиении в одной из групп (а именно, в группе, содержащей это число) сумма чисел будет больше.
  Допустим, есть два разбиения и в каждом из них числа разбиваются на группы из двух и трёх чисел. Рассмотрим группы, состоящие из двух чисел. Если они не пересекаются, то оставшееся число равно нулю (так как сумма чисел в каждой из этих групп равна половине суммы всех чисел). Если же какое-то число входит в обе эти группы, то оставшиеся числа также должны быть равны, то есть разбиения совпадают.


Ответ

Единственным способом.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 48
Год 1985
вариант
Класс 7
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .