ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79470
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В центре квадрата сидит заяц, а в каждом из четырёх углов по одному волку. Может ли заяц выбежать из квадрата, если волки могут бегать только по сторонам квадрата с максимальной скоростью в 1,4 раза большей, чем максимальная скорость зайца?
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Ответ: может.
Для этого заяц должен придерживаться такой стратегии. Сначала он выбирает произвольную вершину A квадрата и бежит к ней по диагонали с максимальной скоростью до тех пор, пока не окажется от A на расстоянии, меньшем $ {\frac{1}{2}}$($ \sqrt{2}$ − 1,4) (например, на расстоянии 0,005; сторону квадрата полагаем равной 1). Затем он, не меняя скорости, сворачивает на 90o и движется перпендикулярно диагонали к той стороне квадрата, на которой находится только один волк (если в рассматриваемый момент в A находится волк, то заяц сворачивает на 90o в произвольную сторону; Нетрудно видеть, что в момент, когда заяц пересечёт сторону квадрата, ни один волк не сможет оказаться в той же точке этой стороны.
Замечание. Если скорость волка в $ \sqrt{2}$ раз больше скорости зайца, то волки уже ловят зайца: они в каждый момент оказываются в концах "креста" с центром "заяц", отрезки которого параллельны диагоналям квадрата.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 48
Год 1985
вариант
Класс 7
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .