ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79484
Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Неравенства с объемами ]
Сложность: 4
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h1, h2, h3, то объём тетраэдра не меньше, чем h1h2h3/3.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Рассмотрим параллелепипед, образованный плоскостями, проходящими через рёбра тетраэдра параллельно противоположным рёбрам. Объём тетраэдра составляет 1/3 объёма этого параллелепипеда (см. решение задачи 76442), а расстояния между параллельными гранями параллелепипеда равны h1, h2 и h3. Поэтому остаётся проверить, что объём такого параллелепипеда не меньше h1h2h3. Рассмотрим грань параллелепипеда, на которую опущена высота h3. Эта грань является параллелограммом. Одна из сторон этого параллелограмма не меньше h2, а высота, опущенная на эту сторону, не меньше h1. Поэтому площадь этой грани не меньше h1h2, а объём параллелепипеда не меньше h1h2h3.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 48
Год 1985
вариант
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .