ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79501
Темы:    [ Неравенства с биссектрисами ]
[ Теорема синусов ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Решение

Введём обозначения: AB = a, AC = b, AD = l, $ \angle$C = α, $ \angle$B = β, d — диаметр описанной вокруг треугольника ABC окружности. По теореме синусов длина хорды равна произведению диаметра окружности на синус половины дуги, на которую эта хорда опирается. Поскольку $ \smallsmile$ AB = 2α, $ \smallsmile$ AC = 2β, $ \smallsmile$ AD = π − α + β, то a = d sin α, b = d sin β, l = d sin$ {\frac{\pi-\alpha+\beta}{2}}$ = d cos$ {\frac{\beta-\alpha}{2}}$. Из неравенства d cos$ {\frac{\beta-\alpha}{2}}$ > $ {\frac{1}{2}}$(d sin α + d sin β) и следует требуемое утверждение. (Разность между левой и правой частями последнего неравенства равна d(sin (α/2)- cos (β/2))(sin (β/2) - cos (α/2)) > 0.)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 49
Год 1986
вариант
Класс 10
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .