ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79580
Темы:    [ Замена переменных ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольшее значение выражения

x$\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + y$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$.

Решение

Ответ: Наибольшее значение выражения равно 1. Так как выражение $ \sqrt{1-x^2}$ определено, |x| ≤ 1, а значит, существует такой угол φ, что x = cos φ, $ \sqrt{1-x^2}$ = sin φ. Аналогично, y = cos ψ, $ \sqrt{1-y^2}$ = sin ψ. Следовательно,

x$\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + y$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ = sin(φ + ψ) ≤ 1.
С другой стороны, при x = 1, y = 0 значение 1 достигается.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 53
Год 1990
вариант
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .