Задача 79626

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Скалярное произведение ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P₁, P₂, P₃, P₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P₁ ≤ P₂ + P₃ + P₄; б) если S₁, S₂, S₃, S₄ — площади соответствующих граней тетраэдра, то P₁S₁ ≤ P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄.

Решение

Заметим сначала, что задача а) является частным случаем задачи б). Поэтому мы будем решать задачу б). Пусть v_i — вектор, перпендикулярный i-й грани тетраэдра, направленный внутрь тетраэдра и равный по модулю площади этой грани, p — вектор, перпендикулярный плоскости данного треугольника и равный по модулю его площади (один из двух). Тогда, по формуле для площади проекции многоугольника, P_iS_i = |(p, v_i)|.
Лемма. v₁ + v₂ + v₃ + v₄ = 0.
Доказательство. Пусть v — некоторый вектор единичной длины, α — перпендикулярная ему плоскость. Тогда число (v, v₁ + v₂ + v₃ + v₄) равно сумме площадей проекций граней тетраэдра на плоскость α, где площадь берётся со знаком "+", если при проекции ориентация не меняется и со знаком "−" в противном случае. А эта сумма площадей равна нулю. Следовательно, для любого вектора v число (v, v₁ + v₂ + v₃ + v₄) равно нулю. А значит, v₁ + v₂ + v₃ + v₄ = 0.
Следовательно, P₁S₁ = |(p, v₁)| = |(p, v₂) + (p, v₃) + (p, v₃)| ≤ |(p, v₂)| + |p, v₃)| + |(p, v₃)| = P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	55
Год	1992
вариант
Класс	11
задача
Номер	4