ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86503
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке K. В каком отношении точка K разделила отрезок ВС?

Решение


Так как $ \angle$ADC — вписанный и опирается на диаметр окружности, то $ \angle$ADC = 90o, значит, $ \triangle$BDC — прямоугольный. KD = KC, так как они являются отрезками касательных к окружности, проведенными из одной точки (см. рис.). $ \angle$DCK = $ \angle$CDK = $ \alpha$, тогда, $ \angle$DВC = 900 - $ \angle$DCK = 900 - $ \alpha$; $ \angle$KDВ = 900 - $ \angle$CDK = 900 - $ \alpha$, следовательно, KD = KB. Таким образом, KС = KB, то есть, K — середина ВС.

Равенство углов DВC и KDВ можно также доказать, используя равенство других углов: $ \angle$DАC = $ \angle$KDС ( $ \angle$DАC —вписанный, опирающийся на дугу DС, а $ \angle$KDС — между касательной и хордой, стягивающей эту же дугу).

Ответ

1 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2000/01
класс
Класс 8
задача
Номер 3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .