ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86505
Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все значения а, для которых выражения   а +   и   1/а   принимают целые значения.


Решение

Пусть  a + = m,   1/a = n,  где m и n – целые числа. Тогда   (m)(n + ) = 1  ⇔  (m – n) = 16 – mn.  Числа  16 – mn  и  m – n  являются целыми. Если  m ≠ n,  то число  16–mn/m–n  рационально, значит, оно не может быть равно   .   Если  m = n,  то  16 – mn = 0,  следовательно,  m = n = ±4.


Ответ

а = ±4 – .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2000/01
класс
Класс 8
задача
Номер 4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .