ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86938
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана четырёхугольная пирамида SABCD , основание которой – трапеция ABCD . Отношение оснований AD и BC этой трапеции равно 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середины ребер SA и SB . В каком отношении эта плоскость делит ребро SC ?

Решение

Пусть M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. По теореме о пересекающихся плоскостях, проведённых через две параллельные прямые, плоскости граней ASD и BSC пересекаются по прямой, параллельной AD и BC . Пусть K – точка пересечения этой прямой с прямой DM , L – точка пересечения прямых KN и SC . Тогда четырёхугольник DMNL – искомое сечение. Обозначим BC = a . Тогда AD = 2a . Из равенства треугольников KMS и DMA следует, что KS = AD = 2a . Продолжим KL до пересечения с прямой BC в точке P . Из равенства треугольников BNP и SNK находим, что BP = KS = 2a . Поэтому

CP = BP - BC = 2a - a = a.

Наконец, из подобия треугольников KLS и PLC находим, что
= = = 2.


Ответ

2:1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7115

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .