Задача 86938

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана четырёхугольная пирамида SABCD , основание которой – трапеция ABCD . Отношение оснований AD и BC этой трапеции равно 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середины ребер SA и SB . В каком отношении эта плоскость делит ребро SC ?

Решение

Пусть M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. По теореме о пересекающихся плоскостях, проведённых через две параллельные прямые, плоскости граней ASD и BSC пересекаются по прямой, параллельной AD и BC . Пусть K – точка пересечения этой прямой с прямой DM , L – точка пересечения прямых KN и SC . Тогда четырёхугольник DMNL – искомое сечение. Обозначим BC = a . Тогда AD = 2a . Из равенства треугольников KMS и DMA следует, что KS = AD = 2a . Продолжим KL до пересечения с прямой BC в точке P . Из равенства треугольников BNP и SNK находим, что BP = KS = 2a . Поэтому

CP = BP - BC = 2a - a = a.
Наконец, из подобия треугольников KLS и PLC находим, что
= = = 2.

Ответ

2:1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7115