Задача 86939

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На рёбрах AB , BC и AD тетраэдра ABCD взяты точки K , N и M соответственно, причём AK:KB = BN:NC = 2:1 , AM:MD = 3:1 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , M и N . В каком отношении эта плоскость делит ребро CD ?

Решение

Пусть P – точка пересечения прямых KN и AC (рис.1). Точки P и M принадлежат плоскостям MNK и ACD , поэтому MP – прямая пересечения этих плоскостей. Пусть F – точка пересечения прямых MP и CD . Тогда четырёхугольник MKNF – искомое сечение. Рассмотрим плоскость треугольника ABC (рис.2). Через вершину B проведём прямую, параллельную AC . Пусть T – точка пересечения проведённой прямой с прямой NK . Из подобия треугольников TNB и PNC следует, что

BT = CP· = 2CP,
а из подобия треугольников TKB и PKA –
BT = AP· = AP,
значит,
CP = AP, CP = AC.
Рассмотрим теперь плоскость треугольника ADC (рис.3). Рассуждая аналогично, получим, что
= .

Ответ

4:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7116