ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86939
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На рёбрах AB , BC и AD тетраэдра ABCD взяты точки K , N и M соответственно, причём AK:KB = BN:NC = 2:1 , AM:MD = 3:1 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , M и N . В каком отношении эта плоскость делит ребро CD ?

Решение

Пусть P – точка пересечения прямых KN и AC (рис.1). Точки P и M принадлежат плоскостям MNK и ACD , поэтому MP – прямая пересечения этих плоскостей. Пусть F – точка пересечения прямых MP и CD . Тогда четырёхугольник MKNF – искомое сечение. Рассмотрим плоскость треугольника ABC (рис.2). Через вершину B проведём прямую, параллельную AC . Пусть T – точка пересечения проведённой прямой с прямой NK . Из подобия треугольников TNB и PNC следует, что

BT = CP· = 2CP,

а из подобия треугольников TKB и PKA
BT = AP· = AP,

значит,
CP = AP, CP = AC.

Рассмотрим теперь плоскость треугольника ADC (рис.3). Рассуждая аналогично, получим, что
= .


Ответ

4:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7116

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .