Задача 86946

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Тетраэдр и пирамида (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана четырёугольная пирамида SABCD , основание которой – параллелограмм ABCD . Через середину ребра AB проведите плоскость, параллельную прямым AC и SD . В каком отношении эта плоскость делит ребро SB ?

Решение

Пусть M – середина AB . Плоскость основания ABCD пересекает секущую плоскость по прямой a , проходящей через точку M , а т.к. прямая AC параллельна секущей плоскости, то a || AC . Аналогично докажем, что плоскость SBD пересекает секущую плоскость по прямой, параллельной SD . Отсюда вытекает следующее построение. Через точку M проведём прямую a , параллельную AC . Пусть прямая a пересекает BD и BC в точках K и N соответственно. Через точку K проведём прямую, параллельную ребру SD , до пересечения с ребром SB в точке P . Треугольник MPN – искомое сечение. Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD . Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC , точка K – середина OB , поэтому BK:KD = 1:3 , а т.к. KP || SD , то BP:PS = BK:KD = 1:3 .

Ответ

1:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7126