Информация о задаче

Задача 86971

Темы:	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
Темы:	[	Высота пирамиды (тетраэдра)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60^o. Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объем пирамиды.

Подсказка

Высота данной пирамиды проходит либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания.

Решение

Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, боковые грани ABD, BCD и ACD которой, образуют углы по 60^o с плоскостью основания ABC. Точка H равноудалена от прямых AB, BC и AC, поэтому H - либо центр вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника ABC.

Пусть r - радиус вписанной окружности трегугольника ABC, r₁, r₂, r₃ - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB = 10, BC = 10 и AC = 12 соответственно, p - полупериметр треугольника ABC, S - его площадь. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^. $\displaystyle \sqrt{AB^{2} - \frac{1}{4} AC^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ 12^.8 = 48,

r = S/p = 48/16 = 3,

r₁ = S/(p - AB) = 48/(16 - 10) = 48/6 = 16/3,

r₂ = S/(p - BC) = 48/(16 - 10) = 48/6 = 16/3,

r₃ = S/(p - AC) = 48/(16 - 12) = 48/4 = 12.

Рассмотрим случай, когда H - центр вписанной окружности треугольника ABC. Пусть M - основание перпендикуляра, опущенного из вершины D на прямую AC, причем точка M лежит на отрезке AC. Тогда $\angle$ DMH = 60^o, MH = R = 3. Из прямоугольного треугольника DMH находим, что DH = MH^.tg60^o = 3 $\sqrt{3}$ . Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S^.DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ 48^.3 $\displaystyle \sqrt{3}$ = 48 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Если H - центр одной из вневписанных окружностей, то аналогично находим, что

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ Sr₁ $\displaystyle \sqrt{3}$ = 128 $\displaystyle \sqrt{3}$ , V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ Sr₂ $\displaystyle \sqrt{3}$ = 128 $\displaystyle \sqrt{3}$ или

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ Sr₃ $\displaystyle \sqrt{3}$ = 192 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

48 $\displaystyle \sqrt{3}$ , 192 $\displaystyle \sqrt{3}$ , 128 $\displaystyle \sqrt{3}$ , 128 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7168