ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87002
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Правильный тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершину D правильного тетраэдра ABCD с ребром a и середины рёбер AB и AC проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Решение

Пусть M и N – середины рёбер AB и AC соответственно. Полученное сечение – равнобедренный треугольник DMN (равенство DM = DN следует из равенства треугольников ADM и ADN ). Пусть O – центр правильного треугольника ABC (тогда DO – высота тетраэдра ABCD ), K – точка пересечения отрезка MN с медианой AL треугольника ABC . Тогда K – середина отрезков MN и AL , DK – высота треугольника DMN , а т.к.

AO = AL = · a = a,


OK = AO - AK = a - a = ,


DO = = = a,

то из прямоугольного треугольника DOK находим, что
DK = = = .

Следовательно,
SΔ DMN = MN· KD = = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7206

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .