ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87005
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Линейные зависимости векторов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух рёбер основания и середину одного из боковых рёбер.

Решение

Пусть K и L – середины сторон BC и AB основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD , M – середина бокового ребра CD (рис.1). Поскольку KL – средняя линия треугольника ABC ,

KL = AC = a, KL || AC.

Поэтому прямая KL параллельна плоскости грани ADC . Секущая плоскость проходит через прямую KL , параллельную плоскости грани ACD , и имеет с этой гранью общую точку M . Поэтому она пересекает эту плоскость по прямой, проходящей через точку M параллельно прямой KL , а значит, и прямой AC . Следовательно, MN – средняя линия треугольника ACD , где N – точка пересечения секущей плоскости ребром AD . Поскольку MN || KL и MN = AC = KL , четырёхугольник KLMN – параллелограмм; MK и NL – средние линии треугольников CBD и ABD соответственно, MK = NL = BD = b . Поскольку пирамида правильная, BD AC, а т.к. MK || BD и KL || AC , то MK KL , т.е. KLMN – прямоугольник. Следовательно,
SKLMN = KL· MK = b = ab.

Если M – середина бокового ребра BD (рис.2), то в сечении получится треугольник, подобный равнобедренному треугольнику ADC . В этом случае искомая площадь равна .

Ответ

ab или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7209

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .