ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87015
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Линейные зависимости векторов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна a , боковое ребро равно b . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно прямым BD и AS .

Решение

Пусть M – середина AB . Секущая плоскость параллельна прямой BD , лежащей в плоскости основания ABCD , и имеет с плоскостью основания общую точку M . Поэтому плоскость основания пересекает секущую плоскость по прямой, проходящей через точку M параллельно BD . Если N – точка пересечения этой прямой с ребром AD , а O – центр основания ABCD , то N – середина AD , MN – средняя линия треугольника ADB , а точка R пересечения MN и AC – середина AO . Секущая плоскость пересекается с плоскостью треугольника ASC по прямой, параллельной AS и проходящей через точку R . Пусть эта прямая пересекает боковое ребро SC в точке K . Из подобия треугольников RKC и ASC следует, что = = . Поэтому RK = AS = b . Поскольку секущая плоскость проходит через прямую RK , параллельную AS , а следовательно, и плоскостям граней ASB и ASD , она пересекает эти плоскости по прямым, параллельным AS и проходящим через точки M и N соответственно, т.е. по средним линиям треугольников ASB и ASD . Пусть F и E – середины SB и SD . Тогда искомое сечение – пятиугольник MNEKF , а MF = NE = b . Поскольку NE || AS и MN || BD, а AS BD (по теореме о трёх перпендикулярах), то NE MN . Аналогично MF MN . Следовательно, RN и RM – высоты прямоугольных трапеций RNEK и RMFK . Тогда

SMNEKF = 2SRNEK = 2· (RK + NE)· NR =


= (RK + NE)· NR = ( b + b)· a = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7222

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .