Условие
Постройте сечение треугольной пирамиды
ABCD плоскостью,
проходящей через середины
M и
N ребёр
AC и
BD и точку
K ребра
CD , для которой
CK:KD = 1
:2
. В каком отношении эта плоскость делит
ребро
AB ?
Решение
Пусть прямые
KM и
AD пересекаются в точке
R (рис.1). Тогда точка
R
лежит на прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани
ADB (т.к.
R – общая точка прямых, лежащих в этих плоскостях).
Пусть прямая
RN пересекает ребро
AB в точке
L . Тогда
L – точка
пересечения секущей плоскости с ребром
AB . Следовательно, искомое
сечение – четырёхугольник
KMLN .
Проведём через вершину
C прямую, параллельную
DR , до
пересечения с прямой
MK в точке
P (рис.2). Из подобия треугольников
DKR и
CKP (по двум углам) следует, что
DR = CP· = 2CP,
а из равенства треугольников
AMR и
CMP следует, что
AR = CP .
Следовательно,
AR = DR , т.е.
A – середина
DR .
Проведём через вершину
B прямую, параллельную
DR , до
пересечения с прямой
RN в точке
Q (рис.3). Из равенства треугольников
BNQ и
DNR следует, что
BQ = DR , а из подобия треугольников
ALR и
BLQ
находим, что
= = · = .
Ответ
1
:2
.
Источники и прецеденты использования
|
web-сайт |
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
неизвестно |
Номер |
7227 |