ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87020
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины M и N ребёр AC и BD и точку K ребра CD , для которой CK:KD = 1:2 . В каком отношении эта плоскость делит ребро AB ?

Решение

Пусть прямые KM и AD пересекаются в точке R (рис.1). Тогда точка R лежит на прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани ADB (т.к. R – общая точка прямых, лежащих в этих плоскостях). Пусть прямая RN пересекает ребро AB в точке L . Тогда L – точка пересечения секущей плоскости с ребром AB . Следовательно, искомое сечение – четырёхугольник KMLN . Проведём через вершину C прямую, параллельную DR , до пересечения с прямой MK в точке P (рис.2). Из подобия треугольников DKR и CKP (по двум углам) следует, что

DR = CP· = 2CP,

а из равенства треугольников AMR и CMP следует, что AR = CP . Следовательно, AR = DR , т.е. A – середина DR . Проведём через вершину B прямую, параллельную DR , до пересечения с прямой RN в точке Q (рис.3). Из равенства треугольников BNQ и DNR следует, что BQ = DR , а из подобия треугольников ALR и BLQ находим, что
= = · = .


Ответ

1:2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7227

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .