ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87033
Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На ребре DC треугольной пирамиды ABCD взята N , причём CN = 2DN , а на продолжениях рёбер CA и CB за точки A и B соответственно – точки K и M , причём AC = 2AK и MB = 2BC . В каком отношении плоскость, проходящая через точки M , N и K , делит объём пирамиды ABCD ?

Решение

Пусть прямые DB и MN пересекаются в точке P , а прямые DA и KN – в точке Q . Рассмотрим плоскость грани BCD (рис.2). Через точку D проведём прямую, параллельную BC . Пусть T – точка пересечения этой прямой с продолжением MN . Из подобия треугольников DNT и CNM находим, что

DT = CM· = CM = · BM = BM.

Из подобия треугольников DPT и BPM следует, что
= = · = ,

значит, = . Рассмотрим плоскость грани ACD (рис.3). Через точку D проведём прямую, параллельную AC . Пусть F – точка пересечения этой прямой с продолжением KN . Из подобия треугольников DNF и CNK находим, что
DF = CK· = CK = · 3AK = AK.

Из подобия треугольников DQF и AQK следует, что
= = · = ,

значит, = . Поэтому
= · · = · · = .

Пусть V1 и V2 – объёмы многогранников, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCD (рис.1). Тогда = .

Ответ

3:32 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7245

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .