ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87036
Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основание пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD . На рёбрах AB и PC взяты соответственно точки K и M , причём AK:KB = CM:MP = 1:2 . В каком отношении плоскость, проходящая через точки K и M параллельно прямой BD, делит объём пирамиды PABCD ?

Решение

Плоскость основания ABCD проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой l , проходящей через точку K параллельно BD . Пусть L – точка пересечения прямой l со стороной AD параллелограмма ABCD . Тогда = = . Пусть F и E – точки пересечения прямой l с продолжениями BC и CD соответственно. Обозначим BC = AD = a . Из подобия треугольников BKF и AKL находим, что

BF = AL· = 2 = a, CF = BC + BF = a + a = a.

Плоскости граней BPC и APD проходят через параллельные прямые BC и AD и имеют общую точку P . Значит, они пересекаются по некоторой прямой m , параллельной прямым BC и AD . Рассмотрим плоскость грани BPC . Пусть прямая FM пересекает ребро PB в точке N , а прямую m – в точке T . Из подобия треугольников PMT и CMF находим, что
PT = CF· = 2 = a,

а из подобия треугольников PNT и BNF следует, что
= = = 5.

Если Q – точка пересечения прямой EM с ребром DP , то аналогично докажем, что = 5 . Пусть h – высота данной пирамиды, S – площадь её основания, V – объём. Тогда высота треугольной пирамиды MCFE с вершиной M равна h , а высоты треугольных пирамид NBFK и QDEL с вершинами N и Q равны h . Далее имеем:
SΔ AKL = SΔ ABD = · S = S,


SΔ DEL = SΔ BFK = 4SΔ AKL = S,


SΔ CFE = SABCD - SΔ AKL + 2SΔ BFK = S - S + S = S.

Значит,
VMCFE = SΔ CFE· h = · h = · Sh = V,


VNBFK = SΔ BFK· h = · h = · Sh = V,


VCBKLDQMN = VMCFE - 2VNBFK = V - V = V = V.

Следовательно, секущая плоскость делит объём данной пирамиды в отношении 11:7 .

Ответ

11:7 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7248

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .