ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87046
Тема:    [ Геометрия (прочее) ]
Сложность: 2
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC, O - произвольная точка пространства. Докажите, что

OM2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(OA2 + OB2 + OC2) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(AB2 + BC2 + AC2).


Подсказка


Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overline{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{OA}$ + $\displaystyle \overline{OB}$ + $\displaystyle \overline{OC}$).


Решение


Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то

$\displaystyle \overline{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{OA}$ + $\displaystyle \overline{OB}$ + $\displaystyle \overline{OC}$),

поэтому

$\displaystyle \overline{OM}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$($\displaystyle \overline{OA}$ + $\displaystyle \overline{OB}$ + $\displaystyle \overline{OC}$)2 =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(OA2 + OB2 + OC2 + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OB}$ + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + 2 . $\displaystyle \overline{OB}$ . $\displaystyle \overline{OC}$).

Из равенства $ \overline{AB}$ = $ \overline{OB}$ - $ \overline{OA}$ следует, что AB2 = OB2 - 2 . $ \overline{OA}$ . $ \overline{OB}$ + OA2, откуда находим, что

2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OB}$ = OB2 + OA2 - AB2.

Аналогично находим, что

$\displaystyle \overline{BC}$ = $\displaystyle \overline{OC}$ - $\displaystyle \overline{OB}$, BC2 = OC2 - 2 . $\displaystyle \overline{OB}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + OB2,

$\displaystyle \overline{AC}$ = $\displaystyle \overline{OA}$ - $\displaystyle \overline{OC}$, AC2 = OA2 - 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + OC2,

откуда

2 . $\displaystyle \overline{OB}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ = OC2 + OB2 - BC2, 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ = OA2 + OC2 - AC2.

Следовательно,

$\displaystyle \overline{OM}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(OA2 + OB2 + OC2 + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OB}$ + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + 2 . $\displaystyle \overline{OB}$ . $\displaystyle \overline{OC}$) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(OA2 + OB2 + OC2 + OB2 + OA2 - AB2 + OC2 + OB2 - BC2 + OA2 + OC2 - AC2) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(3 . OA2 + 3 . OB2 + 3 . OC2 - AB2 - BC2 - AC2) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(OA2 + OB2 + OC2) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(AB2 + BC2 + AC2).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7259

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .