Условие
Основание пирамиды
ABCD – треугольник
ABC со сторонами
AC = 6
,
BC = 8
,
AB = 10
. Все боковые рёбра равны
5
. Найдите
а) радиус сферы, описанной около пирамиды
ABCD ;
б) расстояние между прямыми
DM и
AC и расстояние прямыми
DM и
BC ,
где
DM – высота пирамиды
ABCD .
Решение
а) Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота
DM
проходит через центр
M окружности, описанной около основания, а
т.к. основание
ABC – прямоугольный треугольник (
AC2
+ BC2
= 36
+ 64
= 100
= AB2
), то точка
M – середина его гипотенузы
AB , а радиус
этой окружности равен половине гипотенузы, т.е. 5.
Из прямоугольного треугольника
DMB находим, что
MD = 
= 
= 5,
значит,
MA = MB = MC = MD = 5
. Следовательно,
M – центр сферы,
описанной около пирамиды
ABCD , а радиус этой сферы равен 5.
б) Пусть
K – середина
AC . Тогда
MK – средняя линия
треугольника
ABC , поэтому
MK 
AC . С другой стороны,
MK DM ,
т.к. прямая
DM перпендикулярна плоскости
ABC , в которой лежит прямая
MK .
Значит,
MK – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
DM и
AC ,
причём
MK = 
BC = 4
. Аналогично находим, что расстояние между
прямыми
DM и
BC равно 3.
Ответ
Ю) 5; А) 4 Х 3.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7402 |
