Задача 87268

Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 45^o . Среднее по величине боковое ребро равно l . Найдите объём и полную поверхность пирамиды.

Решение

Пусть PABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой – квадрат ABCD . Докажем, что две противоположные боковые грани такой пирамиды не могут быть перпендикулярными плоскости основания. Предположим, что плоскости граней PAB и PCD перпендикулярны плоскости квадрата ABCD . Тогда каждая из них проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания. Поскольку две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, получим, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (указанный перпендикуляр и прямая AB ) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости (второй из указанных перпендикуляров и прямая CD ). Значит, эти плоскости параллельны, что противоречит условию (плоскости боковых граней имеют общую точку P ). Аналогично докажем, что плоскости боковых граней PAD и PBC не могут быть перпендикулярными к плоскости основания пирамиды. Таким образом, плоскости основания перпендикулярны две соседние боковые грани. Пусть это грани PAB и PAD . Тогда прямая AP их пересечения перпендикулярна плоскости основания, т.е. AP – высота пирамиды PABCD . Тогда AB и AD – ортогональные проекции наклонных PB и PD на плоскость основания. Так как AB BC и AD CD , то по теореме о трёх перпендикулярах PB BC и PD CD . Значит, ABP и ADP – линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями боковых граней PBC и PDC с плоскостью основания. По условию задачи

ABP = ADP = 45^o.
Поскольку PB и PD – гипотенузы равных прямоугольных треугольников APB и APD , PD = PB > AP , а т.к. PC – гипотенуза прямоугольного треугольника BPC , то PB < CP . Значит, PB и PD – средние по величине боковые рёбра данной пирамиды. По условию задачи PB = PD = l . Из прямоугольного треугольника APB находим, что
AB = BP cos 45^o = , AP = AB = .
Пусть V – объём пирамиды, S – её полная поверхность. Тогда
V = S_ABCD· AP = AB2· AP = · · = ,

S = S_ABCD + 2S_{Δ APB} + 2S_{Δ BPC} =

= AB2 + AB· AP + BC· PB = + + = l2(1 + ).

Ответ

; l2(1 + ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7739