ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87273
Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
[ Построения на проекционном чертеже ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трех параллельных прямых в точках F, G и H. Известно, что площадь треугольника QGH равна 4$ \sqrt{2}$, а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол GFH.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка


Докажите, что точки F, G и H лежат в плоскости, проходящей через центр данной сферы перпендикулярно данным прямым. Проведите сечение сферы этой плоскостью и рассмотрите два случая взамного расположения точек Q и F относительно прямой GH.


Также доступны документы в формате TeX

Решение


Пусть прямая a касается данной сферы в точке F. Проведем через точку Q плоскость $ \alpha$, перпендикулярную прямой a. Если прямая a пересекает эту плоскость в точке F1, то QF1 $ \perp$ a, а т.к. прямая, касающаяся сферы, перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания, то QF $ \perp$ a. Из единственности перпендикуляра, проведенного к данной прямой через данную точку, следует, что точка F1 совпадает с точкой F. Поскольку данные прямые параллельны, плоскость $ \alpha$ перпендикулярна каждой из них. Аналогично докажем, что плоскость $ \alpha$ проходит также через точки G и H.

Треугольник FGH вписан в окружность пересечения сферы с плоскостью $ \alpha$. Пусть S(FGH) = S. По условию

4$\displaystyle \sqrt{2}$ = S(QGH) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$QG . QH . sin$\displaystyle \angle$GQH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$4 . 4 . sin$\displaystyle \angle$GQH = 8 . sin$\displaystyle \angle$GQH,

откуда sin$ \angle$GQH = $ \sqrt{2}$/2. Значит, либо $ \angle$GQH = 45o, либо $ \angle$GQH = 135o.

Пусть $ \angle$GQH = 45o. Если точка F лежит на большей из дуг GH, то площадь треугольника FGH максимальна, если точка F совпадает с точкой A, лежащей на серединном перпендикуляре к хорде GH, т.е. на диаметре AB окружности, перпендикулярном хорде GH. Если C - середина этой хорды, то

S$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$GH . AC < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$GH . AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{QG^{2} + QH^{2} - 2\cdot QG\cdot QH\cdot \cos 45^{\circ }}$ . AB =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{16 + 16 - 2\cdot 16\cdot \sqrt{2}/2}$ . 8 = 16$\displaystyle \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ < 16 . 1 = 16,

что противоречит условию. Если точка F лежит на меньшей из дуг GH, то S(FGH)$ \le$S(BGH) < S(AGH) < 16, что также противоречит условию.

Пусть $ \angle$GQH = 135o. Тогда площадь сектора с углом GQH, равным 135o, составляет три восьмых от площади круга радиуса 4, т.е. равна 6$ \pi$. Если точка F лежит на меньшей из дуг GH, то площадь треугольника FGH меньше площади сегмента, ограниченного этой дугой, т.е.

S < 6$\displaystyle \pi$ - S(QGH) = 6$\displaystyle \pi$ - 4$\displaystyle \sqrt{2}$ < 16

(6$\displaystyle \pi$ - 4$\displaystyle \sqrt{2}$ < 16 $\displaystyle \Leftarrow$ 6$\displaystyle \pi$ < 4$\displaystyle \sqrt{2}$ + 16 $\displaystyle \Leftarrow$ 3$\displaystyle \pi$ < 2$\displaystyle \sqrt{2}$ + 8 $\displaystyle \Leftarrow$ 3$\displaystyle \pi$ < 10 < 2$\displaystyle \sqrt{2}$ + 8),

что противоречит условию.

Если точка F лежит на большей из дуг GH, то S может быть больше 16. В самом деле, пусть F совпадает с серединой A большей из дуг GH. Тогда

$\displaystyle \angle$AQG = $\displaystyle \angle$AGH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(369o - 135o) = 112.5o < 120o,

поэтому

S(AGH) = S(QGH) + 2 . S(AQH) = 4$\displaystyle \sqrt{2}$ + 4 . 4 . sin 112.5o >

> 4$\displaystyle \sqrt{2}$ + 4 . 4 . sin 120o = 4$\displaystyle \sqrt{2}$ + 8$\displaystyle \sqrt{3}$ > 4 + 8 . 1.5 = 4 + 12 = 16.

Таким образом, $ \angle$GQH = 135o, а точка F лежит на большей из дуг GH. Следовательно, $ \angle$GFH = $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$GQH = $ {\frac{1}{2}}$135o = 67.5o.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

67.5o.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .