ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87336
Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ]
[ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.Докажите, что ортоцентрическом тетраэдре общие перпендикуляры каждой пары противоположных рёбер пересекаются в одной точке.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Докажем сначала, что если высоты BB1 и CC1 тетраэдра ABCD пересекаются, то точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых AD и BC . Для этого проведём плоскость через прямые BB1 и CC1 , пересекающиеся в точке H . Пусть эта плоскость пересекает прямую AD в точке M . Так как BB1 и CC1 – высоты треугольника BMC , а высоты треугольника пересекаются в одной точке, то MH BC . В то же время, прямая AD перпендикулярна плоскости BMC , т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB1 и CC1 этой плоскости. Поэтому AD MH . Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC и AD лежит на прямой MH . Что и требовалось доказать. Поскольку все высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке, то по доказанному, точка их пересечения принадлежит общему перпендикуляру каждой пары скрещивающихся рёбер.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7809

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .