ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87366
Тема:    [ Геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Сфера радиуса 3/2 имеет центр в точке N. Из точки K, находящейся на расстоянии 3$ \sqrt{5}$/2 от центра сферы, проведены две прямые KL и KM, касающиеся сферы в точках L и M соответственно. Найдите объем пирамиды KLMN, если известно, что ML = 2.


Решение


Из прямоугольного треугольника KLN находим, что

KL = $\displaystyle \sqrt{KN^{2} - LN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{45/4 - 9/}$4 = 3.

Поэтому KM = KL = 3. В равнобедренных треугольниках LNM и LKM медианы NP и KP являются высотами, поэтому

NP2 = $\displaystyle \sqrt{NL^{2} - LP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9/4 - 1}$ = $\displaystyle \sqrt{5}$/2,

KP2 = $\displaystyle \sqrt{KL^{2} - LP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9 - 1}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$/2,

Значит, S(LNM) = $ {\frac{1}{2}}$LM . NP = $ {\frac{1}{2}}$2 . $ \sqrt{5}$/2 = $ \sqrt{5}$/2.

Пусть KH - высота пирамиды KLMN. Поскольку KL = KM, точка H равноудалена от точек L и M. Значит, точка H лежит на прямой NP, причем KH - высота треугольника KNP. Обозначим PH = x. По теореме Пифагора

KN2 - NH2 = KP2 - PH2,или45/4 - ($\displaystyle \sqrt{5}$/2 + x)2 = 8 - x2,

откуда x = 2/$ \sqrt{5}$. Поэтому

KH = $\displaystyle \sqrt{KP^{2} - PH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{8 - 4/5}$ = 6/$\displaystyle \sqrt{5}$.

Следовательно,

V(KLMN) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S(LNM) . KH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \sqrt{5}$/2) . 6/$\displaystyle \sqrt{5}$ = 1.


Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7839

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .