Задача 87431

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде SABC известно, что AB = AC = 10 , BC = 16 . Высота пирамиды, опущенная из вершины S , проходит через вершину B и равна 4. Найдите полную поверхность пирамиды и радиус шара, вписанного в пирамиду.

Решение

Пусть Q – площадь полной поверхности данной пирамиды, V – её объём, r – радиус вписанного в пирамиду шара, AK и BM – высоты треугольника ABC . Тогда K – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC . Поэтому

AK = = = 6,

BM = = = .
Так как SB – перпендикуляр к плоскости основания ABC , то BM – ортогональная проекция наклонной SM на плоскость основания ABC , а т.к. BM AC , то по теореме о трёх перпендикулярах SM AC , т.е. SM – высота треугольника ASC . Из прямоугольного треугольника SBM находим, что
SM = = = 4 = 4· = .
Следовательно,
Q = S_{Δ SBC} + S_{Δ SAB} + S_{Δ SAC} + S_{Δ ABC} =

= BC· SB + AB· SB + AC· SM + BC · AK =

= · 16· 4 + · 10· 4 + · 10· +· 16 · 6 = 32 + 20 + 52 + 48 = 152,
Из равенства V = Q· r = S_{Δ ABC}· SB следует, что
r = = = .

Ответ

152; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7943