ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87461
Темы:    [ Тела вращения ]
[ Объем круглых тел ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45o. Найдите объем тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.


Решение


Пусть CC1 и DD1 - высоты данной равнобедренной трапеции ABCD, опущенные из вершин C и D меньшего основания. Если V1 - объем цилиндра, полученного вращением прямоугольника DCC1D1 вокруг прямой AB, V2 - объем конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника ADD1 вокруг катета AD1, а V - искомый объем, то

V = V1 + 2 . V2.

В равнобедренной трапеции ABCD

D1C1 = DC = 2, AD1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(AB - CD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(8 - 2) = 3,

DD1 = AD1 = 3.

Поэтому

V1 = $\displaystyle \pi$ . DD21 . D1C1 = $\displaystyle \pi$ . 9 . 2 = 18$\displaystyle \pi$,

V2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \pi$ . DD21 . AD1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \pi$ . 9 . 3 = 9$\displaystyle \pi$.

Следовательно,

V = V1 + 2 . V2 = 18$\displaystyle \pi$ + 18$\displaystyle \pi$ = 36$\displaystyle \pi$.


Ответ

36$\displaystyle \pi$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7973

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .