Задача 87481

Тема:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1 : 8, считая от вершины пирамиды. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна a.

Решение

Пусть 2b - сторона основания данной пирамиды с вершиной P, V - объем пирамиды. Поскольку пирамида правильная, центр вписанной в нее сферы лежит на высоте, причем сфера касается боковых граней пирамиды в точках, лежащих на апофемах, а основания - в его центре M. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PA и PB, лежащие в двух противолежащих боковых граней. Получим равнобедренный треугольник APB со сторонами PA = PB = a, AB = 2b и вписанную в него окружность с центром O, лежащим на высоте PM. Если окружность пересекает высоту PM в точке K, отличной от M, то по условию задачи PK/MK = 1/3. Обозначим PK = x. Тогда

MK = 8x, OM = MK = 4x, OP = OK + PK = 4x + x = 5x.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому BO - биссектриса треугольника PBM. По свойству биссектрисы треугольника

b/a = BM/BP = OM/OP = 4x/(5x) = 4/5,

откуда находим, что b = 4a/5. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PBM находим, что

PM = = = 3a/5.

Следовательно,

V = AB^{2 .} PM = (2b)^{2 .} 3a/5 = 4 ^. (16/25)a^{2 .} 3a/5 = 64a³/125.

Ответ

64a³/125.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7993