ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87482
Темы:    [ Отношение объемов ]
[ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка K расположена на ребре AD тетраэдра ABCD , точка N – на продолжении ребра AB за точку B , а точка M – на продолжении ребра AC за точку C , причём AK:KD = 3:1 , BN = AB и CM:AC = 1:3 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , M , N . В каком отношении эта плоскость делитобъём тетраэдра?

Решение

Пусть прямые CD и KM пересекаются в точке P , а прямые BD и KN – в точке Q . Рассмотрим плоскость грани ACD . Через точку D проведём прямую, параллельную AC . Пусть T – точка пересечения этой прямой с продолжением KM . Из подобия треугольников DKT и AKM находим, что

DT = AM· = AM = · AC = AC.

Из подобия треугольников DPT и CPM следует, что
= = = ,

значит, = . Рассмотрим плоскость грани ABD . Через точку D проведём прямую, параллельную AB . Пусть F – точка пересечения этой прямой с продолжением KN . Из подобия треугольников DKF и AKN находим, что
DF = AN· = AN = · 2AB = AB.

Из подобия треугольников DQF и BQN следует, что
= = · = ,

значит, = . Поэтому
= · · = · · = .

Пусть V1 и V2 – объёмы многогранников, на которые плоскость MNK разбивает пирамиду ABCD . Тогда = .

Ответ

2:33 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 8075

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .