Задача 87486

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD . Точка K – середина ребра AP , точка N расположена на ребре CP , причём CN:NP = 1:3 , точка M расположена на продолжении ребра BC за точку B , причём BM = 2BC . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K , M , N . В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Решение

Плоскости граней APD и BPC проходят через параллельные прямые AD и BC и имеют общую точку P , значит, они пересекаются по прямой l , проходящей через точку P параллельно прямым AD и BC . Обозначим BC = AD = a . Рассмотрим плоскость грани BPC . Пусть продолжение прямая MN пересекает прямую l в точке T , а ребро PB – в точке G . Из подобия треугольников PNT и CNM находим, что

PT = MC· = 3· 3a = 9a,
а из подобия треугольников PGT и BGM следует, что
= = = .
Значит, = . Рассмотрим плоскость грани APD . Пусть прямая TK пересекает ребро PD в точке E , а прямую AD – в точке H . Из равенства треугольников PKT и AKH следует, что AH = PT = 9a . Из подобия треугольников PET и DEH находим, что
= = = .
Значит, = . Обозначим через V объём пирамиды PABCD . Тогда объёмы треугольных пирамид PABD и PBCD равны V . Далее имеем:
V_PNGE = · · · V_PBCD = · · · V,

V_PEGK = · · · V_PBCD = · · · V,

V_PEKGN = V_PNGE + V_PEGK = · · · V + · · · V =

=· ( + )V = · · · V = V.
Пусть V1 и V2 – объёмы многогранников, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCD . Тогда
= = .

Ответ

405:1267 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8079