ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87587
Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ]
[ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В плоскости α проведены две перпендикулярные прямые. Прямая l образует с ними углы, равные 45o и 60o . Найдите угол прямой l с плоскостью α .
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть прямая l образует с прямыми a и b плоскости α углы 60o и 45o соответственно, и пересекает эту плоскость в точке P . Возьмём на прямой l такую точку M , для которой PM = 1 . Пусть O – ортогональная проекция точки M на плоскость α , A и B – основания перпендикуляров, опущеннных из точки M на прямые a1 и b1 , соответственно параллельные прямым a и b и проходящие через точку P . Тогда MPO – угол прямой l с плоскостью α , MPA – угол между прямыми l и a1 (а значит, между прямыми l и a ), MPB – угол между прямыми l и b1 (а значит, между прямыми l и b ). По условию задачи MPA = 60o , MPB = 45o . Из прямоугольных треугольников MPA и MPB находим, что

AP = MP cos MPA = 1· cos 60o = ,


BP = MP cos MPB = 1· cos 45o = .

По теореме о трёх перпендикулярах OA a и OB b . Значит, OAPB – прямоугольник. Поэтому OA = BP = . Из прямоугольного треугольника OAP находим, что
OP = = = .

Поэтому
cos MPO = = = .

Следовательно, MPO = 30o .
Также доступны документы в формате TeX

Ответ

30o .
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 8190

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .