ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87588
Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Углы между прямыми и плоскостями ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ортогональной проекцией равнобедренного прямоугольного треугольника на плоскость α является правильный треугольник. Найдите угол, образованный гипотенузой данного треугольника с плоскостью α .

Решение

Пусть C – вершина прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = BC = a и гипотенузой AB = a ; A1 , B1 и C1 – ортогональные проекции точек A , B и C соответственно на плоскость β , параллельную α и проходящую через вершину C треугольника ABC . Обозначим AB = AC = BC = x . Прямоугольные треугольники AA1C и BB1C равны по гипотенузе и катету. Поэтому AA1 = BB1 . Если точки A и B лежат по одну сторону от плоскости β , то AA1B1B – прямоугольник. Поэтому A1B1 = AB . Тогда

C1B1 = CB1 = A1B1 = a > a = BC,

что невозможно. Если же точки A и B лежат по разные стороны от плоскости β , то отрезок AB пересекает плоскость β в некоторой точке M , лежащей на отрезке A1B1 . Из равенства прямоугольных треугольников AA1M и BB1M (по катету и противолежащему острому углу) следует, что M – середина AB и A1B1 . Поэтому CM – высота равнобедренного треугольника ABC и равностороннего треугольника CA1B1 . Значит,
CM = , CM = ,

откуда = . Так как A1M – ортогональная проекция наклонной AM на плоскость β , то AMA1 – угол прямой AM (а значит, и прямой AB ) с плоскостью β . Из прямоугольного треугольника AMA1 находим, что
cos AMA1 = = = = = .

Поскольку плоскости α и β параллельны, найденный угол равен искомому.

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 8191

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .